La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática,
que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y
algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los
problemas relacionados con estos.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
¿Qué es intersección de conjuntos?
Realizar la
intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado
solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en
cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los
elementos que tengan en común.
Existe un símbolo
matemático para la intersección. Para poner un ejemplo,la intersección de dos
conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera:
G
∩ H
En vez de
ejemplificar en diagramas, esta vez veremos cómo se representa la interescción
de conjuntos definida por extensión.
Primero definimos
a los respectivos conjuntos:
G
= { a, b, c, d, e, f, g, h }
H
= { a,e,i,o,u }
G
∩ H = { a,e }
En efecto, a y e,
son los únicos elementos en común, es decir que están presentes en los dos
conjuntos a la vez.
Veamos un
ejercicio ejemplo:
Partimos de la
existencia de dos conjuntos que son los siguientes:
R = {–7–2, 0, 2,
4}
S = {–4, –2,
5, 3, 4}
Se pide realizar
las siguientes operaciones:
a) R ∪ S
b) R ∩ S
a)
que la unión de conjuntos se
plantea como la reunión de los elementos de ambos conjunto, sin escribir
repetidos los que están dos veces. Entonces quedaría que:
R
∪ S =
{–7–2, 0, 2, 4, –4, 5, 3}
b)
Recordamos que la intersección de
conjuntos, se plantea como la lista de elementos que ambos tienen en
común. Entonces, en este caso, quedaría que:
R
∩ S = {–2, 4}
§ Caso especial: conjuntos disjuntos
Podría ser que al
intentar realizar la intersección de conjuntos, éstos no tengan elementos en
común. En ese caso, se dice que la intersección es vacía, o sea, es un conjunto
vacío. Escrito en símbolos, esto se señala así:
A
∩ B = ∅
De
la mano de esto, introducimos un nuevo concepto: el de conjuntos disjuntos. Se
dice que dos conjuntos son disjuntos, cuando su intersección es
vacía. Para citar un ejemplo podríamos decir que si C, es el conjunto de las
letras consonantes y V es el conjunto de las letras vocales,
C
∩ V = ∅
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DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e } y B =
{ a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por
todos los elementos que estén solamente en A, esto es:
A – B = { b, c, d }
A la derecha, se representa
dicha diferencia.
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1. Experimento
Aleatorio y Determinista
Los experimentos (o fenómenos) aleatorios son
aquellos en los que no se puede
predecir el resultado.
Si se puede predecir el resultado, es
un experimento determinista.
Ejemplos:
·
Lanzar una moneda es un experimento aleatorio ya que no sabemos si obtendremos cara o
cruz.
·
Calentar agua a altas temperaturas es un
experimento determinista ya
que sabemos, con toda seguridad, que el agua hervirá a partir de determinada
temperatura.
·
Lanzar un dado es un experimento aleatorio ya que no podemos predecir el número que
obtendremos.
·
Extraer una bola de una urna que sólo
contiene bolas rojas es un experimento determinista ya
que podemos predecir que la bola extraída será roja.
2. Espacio
Muestral
El espacio
muestral es el conjunto de los resultados posibles de un
experimento aleatorio.
Denotaremos el espacio muestral de un
experimento con E o
Ω.
Ejemplo:
·
El espacio muestral del lanzamiento de una
moneda es
ya que
éstas son las dos únicas posibilidades.
·
El espacio muestral del lanzamiento de un
dado es
pero
también puede ser
Nótese que, dependiendo de lo que nos
interese, el espacio muestral será de una forma u otra.
Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado
puede interesarnos la paridad del
resultado obtenido (es decir, si el número que ha salido es par o impar) o
puede simplemente interesarnos el número que ha salido.
Sucesos Aleatorios
Concepto de suceso aleatorio y sus tipos: seguro, imposible,
dependiente, independiente, compatible e incompatible.
Un suceso
aleatorio es un elemento del espacio muestral.
Es decir, cada uno de los posibles resultados
de un experimento aleatorio es un suceso aleatorio.
Ejemplo:
En el lanzamiento de una moneda, los sucesos aleatorios son:
·
sale cara
·
sale cruz
Unión e
Intersección de Sucesos
Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de los sucesos A y B y lo denotamos por
al suceso “Se da A o se da B”.
Ejemplo:
En el lanzamiento de un dado, la unión de los
sucesos
·
A ="Sacar
un número par"
·
y B =
"Sacar un número mayor que 4"
es A ∪ B =
"Sacar un número par o mayor que 4”.
Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de los sucesos A y B y lo denotamos por
al suceso “Se da A y se da B”.
Ejemplo:
En el lanzamiento de un dado, la intersección
de los sucesos
·
A ="Sacar
un número par"
·
y B =
"Sacar un número mayor que 4"
es A ∩ B = "Sacar un número par y mayor que 4”.
Este suceso es el mismo que "sacar el
número 6".
Diferencia
simétrica. La diferencia
simétrica de dos
conjuntos es el conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno
de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia
simétrica de {2,5,3} y
{4,2,3,7} es {4,5,7}.
Las Técnicas de conteo son
utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número total de
resultados. En este artículo analizamos: Principio de multiplicación, regla
factorial, permutaciones, permutación circular y permutaciones con repeticiones.
Principio de multiplicación
Si un evento E puede
ocurrir de m formas, e
independiente de este evento un evento F puede
ocurrir de n formas,
entonces los eventos juntos pueden ocurrir un total de m x n formas.
Ejemplo:
Menú en restaurante
Supongamos que un restaurante ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2
postres. ¿De cuántas formas un cliente puede ordenar una comida?
Respuesta: Se
aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas
diferentes de ordenar una comida: 40 formas.
Regla factorial
Una colección de n elementos
distintos se pueden acomodar de n! formas
diferentes. Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n maneras distintas, el
segundo de n-1 maneras,
y así sucesivamente.
Permutaciones
Se le llama permutación a cualquier ordenamiento de un conjunto
de n objetos
en un orden dato. Un ordenamiento de r de
éstos objetos se denomina permutación
r o permutación
de n objetos tomados r a la vez.
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